A data de validade do visto é o último dia em que você pode usar o visto para entrar nos EUA. O visto não tem nada a ver com a sua capacidade de permanecer nos EUA. Não ter um visto válido não afecta a sua capacidade de permanecer nos EUA, desde que tenha um estatuto válido; e inversamente, ter um visto válido não significa que possa permanecer nos EUA, se estiver fora do estatuto.
O estatuto e a duração da estadia são determinados pelo I-94 que lhe é dado à entrada (bem, já não lhe é dado um visto em papel; pode imprimi-lo online). Os alunos do F-1 em programas de vários anos são sempre admitidos para “DS” (Duration of Status) no seu I-94, o que significa que não têm uma duração fixa de estadia. Pelo contrário, permanecem no estatuto F-1 enquanto tiverem um I-20 válido e não violam as condições do estatuto F-1. (Da mesma forma para o status J-1, eles permanecem no status J-1 enquanto tiverem um DS-2019 válido)
Você só precisaria de um visto se deixasse os EUA e precisasse reentrar nos EUA novamente. Você só precisa de visto em um consulado americano fora dos EUA. É comum que estudantes internacionais de longa duração com status válido tenham seu visto expirado por anos porque eles não tiveram que sair dos EUA durante esse tempo.
Ao viajar dentro dos EUA, você quase nunca deve encontrar ninguém que pergunte sobre seu status imigratório, a menos que você vá até 100 milhas da fronteira mexicana, onde há postos de controle da Patrulha de Fronteira. As autoridades locais (exceto talvez no Arizona) geralmente não lidam com assuntos de imigração porque é um assunto federal. Não está dentro da jurisdição da TSA (a agência com a qual você provavelmente irá lidar quando viajar de avião) para verificar o status imigratório, embora tenha havido relatos ocasionais de maus agentes que gritam com pessoas por vistos vencidos (não entendendo que o visto não tem nada a ver com o status). (Além disso, eles não têm treinamento para verificar mesmo que quisessem; por exemplo, alguém fora do status ainda é legal se tiver um ajuste de status pendente, mudança de status, ou extensão do pedido de status, ou se tiverem asilo pendente ou ação diferida, etc.). Os meandros da lei de imigração são demasiado complicados para uma agência de não-imigração lidar com)
O seu I-94 e I-20 é prova suficiente de que você está num estado válido, se alguma vez precisar de o provar. Você deve trazer isso com você.